На данном уроке будет рассмотрено сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями. Мы уже знаем, как складывать и вычитать обыкновенные дроби с разными знаменателями. Для этого дроби необходимо привести к общему знаменателю. Оказывается, что алгебраические дроби подчиняются тем же самым правилам. При этом мы уже умеем приводить алгебраические дроби к общему знаменателю. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями - одна из наиболее важных и сложных тем в курсе 8 класса. При этом данная тема будет встречаться во многих темах курса алгебры, которые вы будете изучать в дальнейшем. В рамках урока мы изучим правила сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями, а также разберём целый ряд типовых примеров.
Рассмотрим простейший пример для обыкновенных дробей.
Пример 1. Сложить дроби: .
Решение:
Вспомним правило сложения дробей. Для начала дроби необходимо привести к общему знаменателю. В роли общего знаменателя для обыкновенных дробей выступает наименьшее общее кратное (НОК) исходных знаменателей.
Определение
Наименьшее натуральное число, которое делится одновременно на числа и .
Для нахождения НОК необходимо разложить знаменатели на простые множители, а затем выбрать все простые множители, которые входят в разложение обоих знаменателей.
; . Тогда в НОК чисел должны входить две двойки и две тройки: .
После нахождения общего знаменателя, необходимо для каждой из дробей найти дополнительный множитель (фактически, поделить общий знаменатель на знаменатель соответствующей дроби).
Затем каждая дробь умножается на полученный дополнительный множитель. Получаются дроби с одинаковыми знаменателями, складывать и вычитать которые мы научились на прошлых уроках.
Получаем: 
.
Ответ: .
Рассмотрим теперь сложение алгебраических дробей с разными знаменателями. Сначала рассмотрим дроби, знаменатели которых являются числами.
Пример 2. Сложить дроби: .
Решение:
Алгоритм решения абсолютно аналогичен предыдущему примеру. Легко подобрать общий знаменатель данных дробей: и дополнительные множители для каждой из них.
.
Ответ: .
Итак, сформулируем алгоритм сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями :
1. Найти наименьший общий знаменатель дробей.
2. Найти дополнительные множители для каждой из дробей (поделив общий знаменатель на знаменатель данной дроби).
3. Домножить числители на соответствующие дополнительные множители.
4. Сложить или вычесть дроби, пользуясь правилами сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.
Рассмотрим теперь пример с дробями, в знаменателе которых присутствуют буквенные выражения.
Пример 3. Сложить дроби: .
Решение:
Поскольку буквенные выражения в обоих знаменателях одинаковы, то следует найти общий знаменатель для чисел . Итоговый общий знаменатель будет иметь вид: . Таким образом, решение данного примера имеет вид:.
Ответ: .
Пример 4. Вычесть дроби: .
Решение:
Если «схитрить» при подборе общего знаменателя не удаётся (нельзя разложить на множители или воспользоваться формулами сокращённого умножения), то в качестве общего знаменателя приходится брать произведение знаменателей обеих дробей.
Ответ: .
Вообще, при решении подобных примеров, наиболее сложным заданием является нахождение общего знаменателя.
Рассмотрим более сложный пример.
Пример 5. Упростить: .
Решение:
При нахождении общего знаменателя необходимо прежде всего попытаться разложить знаменатели исходных дробей на множители (чтобы упростить общий знаменатель).
В данном конкретном случае:
Тогда легко определить общий знаменатель: 
.
Определяем дополнительные множители и решаем данный пример:
Ответ: .
Теперь закрепим правила сложения и вычитания дробей с разными знаменателями.
Пример 6. Упростить: .
Решение:
Ответ: .
Пример 7. Упростить: .
Решение:
.
Ответ: .
Рассмотрим теперь пример, в котором складываются не две, а три дроби (ведь правила сложения и вычитания для большего количества дробей остаются такими же).
Пример 8. Упростить: .
Обратите внимание! Перед тем как написать окончательный ответ, посмотрите, может можно сократить дробь , которую вы получили.
Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, примеры:
,
,
Вычитание правильной дроби из единицы.
Если необходимо вычесть из единицы дробь, которая является правильной , единицу переводят к виду неправильной дроби , у нее знаменатель равен знаменателю вычитаемой дроби.
Пример вычитания правильной дроби из единицы:
Знаменатель вычитаемой дроби = 7 , т.е., единицу представляем в виде неправильной дроби 7/7 и вычитаем по правилу вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.
Вычитание правильной дроби из целого числа.
Правила вычитания дробей - правильной из целого числа (натурального числа) :
- Переводим заданные дроби, которые содержат целую часть, в неправильные. Получаем нормальные слагаемые (не важно если они с разными знаменателями), которые считаем по правилам, приведенным выше;
- Далее вычисляем разность дробей, которые мы получили. В результате мы почти найдем ответ;
- Выполняем обратное преобразование, то есть избавляемся от неправильной дроби - выделяем в дроби целую часть.
Вычтем из целого числа правильную дробь: представляем натуральное число в виде смешанного числа. Т.е. занимаем единицу в натуральном числе и переводим её к виду неправильной дроби, знаменатель при этом такой же, как у вычитаемой дроби.
Пример вычитания дробей:
В примере единицу мы заменили неправильной дробью 7/7 и вместо 3 записали смешанное число и от дробной части отняли дробь.
Вычитание дробей с разными знаменателями.
Или, если сказать другими словами, вычитание разных дробей .
Правило вычитания дробей с разными знаменателями. Для того, чтобы произвести вычитание дробей с разными знаменателями, необходимо, для начала, привести эти дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ) , и только послеиэтого произвести вычитание как с дробями с одинаковыми знаменателями.
Общий знаменатель нескольких дробей — это НОК (наименьшее общее кратное) натуральных чисел, которые являются знаменателями данных дробей.
Внимание! Если в конечной дроби у числителя и знаменателя есть общие множители , то дробь необходимо сократить. Неправильную дробь лучше представить в виде смешанной дроби. Оставить результат вычитания, не сократив дробь, где есть возможность, — это незаконченное решение примера!
Порядок действий при вычитании дробей с разными знаменателями.
- найти НОК для всех знаменателей;
- поставить для всех дробей дополнительные множители;
- умножить все числители на дополнительный множитель;
- полученные произведения записываем в числитель, подписывая под всеми дробями общий знаменатель;
- произвести вычитание числителей дробей, подписывая под разностью общий знаменатель.
Таким же образом проводится сложение и вычитание дробей при наличии в числителе букв.
Вычитание дробей, примеры:
Вычитание смешанных дробей.
При вычитании смешанных дробей (чисел) отдельно из целой части вычитают целую часть, а из дробной части вычитают дробную часть.
Первый вариант вычитания смешанных дробей.
Если у дробных частей одинаковые знаменатели и числитель дробной части уменьшаемого (из него вычитаем) ≥ числителю дробной части вычитаемого (его вычитаем).
Например:
Второй вариант вычитания смешанных дробей.
Когда у дробных частей разные знаменатели. Для начала приводим к общему знаменателю дробные части, а после этого выполняем вычитание целой части из целой, а дробной из дробной.
Например:
Третий вариант вычитания смешанных дробей.
Дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого.
Пример:
Т.к. у дробных частей разные знаменатели, значит, как и при втором варианте, сначала приводим обыкновенные дроби к общему знаменателю.
Числитель дробной части уменьшаемого меньше числителя дробной части вычитаемого. 3 < 14. Значит, занимаем единицу из целой части и приводим эту единицу к виду неправильной дроби с одинаковым знаменателем и числителем = 18.
В числителе от правой части пишем сумму числителей, дальше раскрываем скобки в числителе от правой части, то есть умножаем все и приводим подобные. В знаменателе скобки не раскрываем. В знаменателях принято оставлять произведение. Получаем:
Рассмотрим, пока примеры в которых уменьшаемое больше вычитаемого.
\(\frac{7}{13}-\frac{3}{13} = \frac{7-3}{13} = \frac{4}{13}\)
Чтобы выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, нужно посчитать разность числителя уменьшаемого и вычитаемого, а знаменатель оставить без изменения.
\(\frac{a}{b}-\frac{c}{b} = \frac{a-c}{b}\)
Вычитание дробей с разными знаменателями.
Чтобы выполнить вычитание дробей с разными знаменателями, нужно привести дроби к общему знаменателю, а потом применить правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.
Рассмотрим пример:
Выполните вычитание дробей \(\frac{5}{6}\) и \(\frac{1}{2}\).
Общий знаменатель этих двух дробей latex]\frac{5}{6} и \(\frac{1}{2}\) равен 6. Умножим вторую дробь \(\frac{1}{2}\) на дополнительный множитель 3.
\(\frac{5}{6}-\frac{1}{2} = \frac{5}{6}-\frac{1 \times \color{red} {3}}{2 \times \color{red} {3}} = \frac{5}{6}-\frac{3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
Дробь \(\frac{2}{6}\) сократили и получили \(\frac{1}{3}\).
Буквенная формула вычитания дробей с разными знаменателями.
\(\bf \frac{a}{b}-\frac{c}{d} = \frac{a \times d-c \times b}{b \times d}\)
Вопросы по теме:
Как вычитать дроби с разными знаменателями?
Ответе: нужно найти общий знаменатель и далее по правилу выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
Как выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями?
Ответ: у числителей посчитать разность, а знаменатель оставить тот же.
Как правильно сделать проверку вычитания двух дробей?
Ответ: для проверки правильности вычитания дробей, нужно выполнить сложение вычитаемого и разности, результат их суммы будет равен вычитаемому.
\(\frac{7}{8}-\frac{3}{8} = \frac{7-3}{8} = \frac{4}{8}\)
Проверка:
\(\frac{4}{8} + \frac{3}{8} = \frac{4 + 3}{8} = \frac{7}{8}\)
Пример №1:
Выполните вычитание дробей: а) \(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\) б) \(\frac{10}{19}-\frac{7}{19}\)
Решение:
а) \(\frac{1}{2}-\frac{1}{2} = \frac{1-1}{2} = \frac{0}{2} = 0\)
При вычитание двух одинаковых дробей получаем нуль.
б) \(\frac{10}{19}-\frac{7}{19} = \frac{10-7}{19} = \frac{3}{19}\)
Пример №2:
Выполните вычитание и проверьте сложением: а) \(\frac{13}{21}-\frac{3}{7}\) б) \(\frac{2}{3}-\frac{1}{5}\)
Решение:
а)Найдем общий знаменатель дробей \(\frac{13}{21}\) и \(\frac{3}{7}\), он будет равен 21. Умножим вторую дробь \(\frac{3}{7}\) на 3.
\(\frac{13}{21}-\frac{3}{7} = \frac{13}{21}-\frac{3 \times \color{red} {3}}{7 \times \color{red} {3}} = \frac{13}{21}-\frac{9}{21} = \frac{13-9}{21} = \frac{4}{21}\)
Выполним проверку вычитания:
\(\frac{4}{21} + \frac{3}{7} = \frac{4}{21} + \frac{3 \times \color{red} {3}}{7 \times \color{red} {3}} = \frac{4}{21} + \frac{9}{21} = \frac{4 + 9}{21} = \frac{13}{21}\)
б) Найдем общий знаменатель дробей \(\frac{2}{3}\) и \(\frac{1}{5}\), он будет равен 15. Умножим первую дробь \(\frac{2}{3}\) на дополнительный множитель 5, вторую дробь \(\frac{1}{5}\) на 3.
\(\frac{2}{3}-\frac{1}{5} = \frac{2 \times \color{red} {5}}{3 \times \color{red} {5}}-\frac{1 \times \color{red} {3}}{5 \times \color{red} {3}} = \frac{10}{15}-\frac{3}{15} = \frac{10-3}{15} = \frac{7}{15}\)
Выполним проверку вычитания:
\(\frac{7}{15} + \frac{1}{5} = \frac{7}{15} + \frac{1 \times \color{red} {3}}{5 \times \color{red} {3}} = \frac{7}{15} + \frac{3}{15} = \frac{7 + 3}{15} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}\)
- Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
- Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
- Понятие о НОК
- Приведение дробей к одному знаменателю
- Как сложить целое число и дробь
1 Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тот же, например:
Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тот же, например:
Чтобы сложить смешанные дроби, надо отдельно сложить их целые части, а затем сложить их дробные части, и записать результат смешанной дробью,
Пример 1:
Пример 2:
Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделяем из нее целую часть и прибавляем ее к целой части, например:
2 Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.
Для того, чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести их к одному знаменателю, а дальше действовать, как указано в начале этой статьи. Общий знаменатель нескольких дробей — это НОК (наименьшее общее кратное). Для числителя каждой из дробей находятся дополнительные множители с помощью деления НОК на знаменатель этой дроби. Мы рассмотрим пример позже, после того, как разберемся, что же такое НОК.
3 Наименьшее общее кратное (НОК)
Наименьшее общее кратное двух чисел (НОК) — это наименьшее натуральное число, которое делится на оба эти числа без остатка. Иногда НОК можно подобрать устно, но чаще, особенно при работе с большими числами, приходится находить НОК письменно, с помощью следующего алгоритма:
Для того, чтобы найти НОК нескольких чисел, нужно:
- Разложить эти числа на простые множители
- Взять самое большое разложение, и записать эти числа в виде произведения
- Выделить в других разложениях числа, которые не встречаются в самом большом разложении (или встречаются в нем меньшее число раз), и добавить их к произведению.
- Перемножить все числа в произведении, это и будет НОК.
Например, найдем НОК чисел 28 и 21:
4 Приведение дробей к одному знаменателю
Вернемся к сложению дробей с разными знаменателями.
Когда мы приводим дроби к одинаковому знаменателю, равному НОК обоих знаменателей, мы должны умножить числители этих дробей на дополнительные множители . Найти их можно, разделив НОК на знаменатель соответствующей дроби, например:
Таким образом, чтобы привести дроби к одному показателю, нужно сначала найти НОК (то есть наименьшее число, которое делится на оба знаменателя) знаменателей этих дробей, затем поставить дополнительные множители к числителям дробей. Найти их можно, разделив общий знаменатель (НОК) на знаменатель соответствующей дроби. Затем нужно умножить числитель каждой дроби на дополнительный множитель, а знаменателем поставить НОК.
5 Как сложить целое число и дробь
Для того, чтобы сложить целое число и дробь, нужно просто добавить это число перед дробью, при этом получится смешанная дробь, например:
Если мы складываем целое число и смешанную дробь, мы прибавляем это число к целой части дроби, например:
Тренажер 1
Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
Лимит времени: 0
Навигация (только номера заданий)
0 из 20 заданий окончено
Информация
В этом тесте проверяется умение складывать дроби с одинаковыми знаменателями. При этом нужно соблюдать два правила:
- Если в результате получается неправильная дробь, нужно перевести ее в смешанное число.
- Если дробь можно сократить, обязательно сократите ее, иначе будет засчитан неправильный ответ.
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 20
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0 )
- С ответом
- С отметкой о просмотре
Изучение вопроса вычитания дробей с разными знаменателями встречается в школьном предмете Алгебра в восьмом классе и оно иногда вызывает у детей сложности в понимании. Для вычитания дробей с разными знаменателями используют следующую формулу:
Процедура вычитания дробей аналогично сложению, поскольку полностью копирует принцип действия.
Во-первых, вычисляем самое маленькое число, которое кратно как одному, так и другому знаменателю.
Во-вторых, перемножаем числитель и знаменатель каждой дроби на определнное число, которое позволит нам знаменатель привести к данному минимальному общему знаменателю.
В-третьих, происходит процедура самого вычитания, когда в итоге знаменатель дублируется, а вычитается числитель второй дроби из первой.
Пример: 8/3 2/4 = 8/3 1/2 = 16/6 3/6 = 13/6 = 2 целых 1/6
Сначала нужно привести их к одному знаменателю, а потом уже произвести вычитание. Например, 1/2 - 1/4 = 2/4 - 1/4 = 1/4. Или, сложнее, 1/3 - 1/5 = 5/15 - 3/15 = 2/15. Объяснять, как приводятся дроби к общему знаменателю нужно?
При таких операциях как сложение или вычитание обыкновенных дробей с разными знаменателями действует простое правило - знаменатели этих дробей приводятся к одному числу, а само действие выполняется с числами стоящими в числителе. То есть дроби получают общий знаменатель и словно объединяются в одну. Нахождение общего знаменателя для произвольных дробей обычно сводится к простому перемножению каждой из дробей на знаменатель другой дроби. Но в более простых случаях можно сразу найти сомножители, которые приведут знаменатели дробей к одному числу.
Пример вычитания дробей: 2/3 - 1/7 = 2*7/3*7 - 1*3/7*3 = 14/21 - 3/21 = (14-3)/21 = 11/21
Многие взрослые уже забыли, как вычесть дроби с разными знаменателями , а ведь это действие относится к элементарной математике.
Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями , нужно привести их к общему знаменателю, то есть найти наименьшее общее кратное знаменателей, затем числители умножить на дополнительные множители, равные отношению наименьшего общего кратного и знаменателя.
Знаки дробей при этом сохраняются. После того, как у дробей появились одинаковые знаменатели, можно производить вычитание, а потом, если получится, сократить дробь.
Елена, Вы решили повторить школьный курс математики?)))
Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями их сначала нужно привести к одному знаменателю, а потом вычесть. Самый простой вариант: Числитель и знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби, а числитель и знаменатель второй дроби умножить на знаменатель первой дроби. Получили две дроби с одинаковыми знаменателями. Теперь от числителя первой дроби отнимаем числитель второй дроби, а знаменатель у них одинаковый.
Например, три пятых отнять две седьмых равно двадцать одна тридцать пятая отнять десять тридцать пятых и это равно одиннадцать тридцать пятых.
Если знаменатели большие числа, то можно найти их наименьшее общее кратное, т.е. число, которое будет делиться и на один и на другой знаменатель. И приводить обе дроби к общему знаменателю (наименьшему общему кратному)
Как вычитывать дроби с разными знаменателями задача очень простая - приводим дроби к общему знаменателю и затем в числителе делаем вычитание.
Очень многие сталкиваются с трудностями, когда возле этих дробей стоят целые числа, поэтому хотел показать, как это делать на следующем примере:
вычитание дробей с целой частью и с разными знаменателями
сначала вычитываем целые части 8-5 = 3 (тройка остается возле первой дроби);
приводим дроби к общему знаменателю 6 (если числитель первой дроби больше второго, делаем вычитание и записываем возле целой части, в нашем же случае двигаемся дальше);
целую часть 3 раскладываем на 2 и 1;
1 записываем в виде дроби 6/6;
6/6+3/6-4/6 записываем под общим знаменателем 6 и делаем действия в числителе;
записываем найденный результат 2 5/6.
Важно помнить, что вычитание дробей производиться при наличии у них одинаковых знаменателю. Поэтому-то когда у нас имеются в разности дроби с различными знаменателями, их нужно привести просто напросто к общему знаменателю, что сделать не сложно. Мы просто должны разложить у каждой дроби числитель на множители и вычислить наименьшее общее кратное, которое не должно равняться нулю. Не забываем также умножить числители на полученные дополнительные множители, а вот пример для удобства:
Если вы хотите вычесть дроби с разными знаменателями, то для начала вам придется найти для этих двух дробей общий знаменатель. И потом вычесть из числителя первой дроби вторую. Получается новая дробь, с новым значением.
На сколько я помню из курса математики 3его класса, то для вычета дробей с разными знаминателями для начала нужно вычислить общий знаминатель и привести к нему, а потом просто вычетаются числители между собой а знаминатель остается тот общий.
Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, нам сначала придется найти наименьший общий знаменатель этих дробей.
Рассмотрим на примере:
Делим большее число 25 на меньшее 20. Не делится. Значит умножаем знаменатель 25 на такое число, получившая сумма при этом чтобы могла делится на 20. Таким числом будет 4. 25х4=100. 100:20=5. Таким образом мы нашли наименьший общий знаменатель - 100.
Теперь нам необходимо найти дополнительный множитель к каждой дроби. Для этого делим новый знаменатель на старый.
Умножаем 9 на 4 = 36. Умножаем 7 на 5 = 35.
Имея общий знаменатель мы проводим вычитание, как показано в примере и получаем результат.
